题目
题目描述
今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。
回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张NM的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个45的表格如下：
1 2 3 4 5
2 2 6 4 10
3 6 3 12 15
4 4 12 4 20
看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod20101009的值。
输入输出格式
输入格式：
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
输出格式：
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod20101009的值。
输入输出样例
输入样例#1：
4 5
输出样例#1：
122
说明
30%的数据满足N, M≤ 10^3。
70%的数据满足N, M≤ 10^5。
100%的数据满足N, M≤ 10^7。
题解
运算千万条，取模第一条
乘法不取模，亲人两行泪
没什么好说的推式子吧
题目要求的是$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$
即$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{\gcd(i,j)}$
$=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[\gcd(i,j)==d]$
$=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}ij[\gcd(i,j)==1]$
$=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}ij\sum_{x\vert \gcd(i,j)}\mu(x)$
$=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{x=1}^{min(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)}\mu(x)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[x\vert \gcd(i,j)]ij$
$=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{x=1}^{min(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)}\mu(x)x^2\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{dx}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{dx}\right\rfloor}[1\vert \gcd(i,j)]ij$
$=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{x=1}^{min(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)}\mu(x)x^2\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{dx}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{dx}\right\rfloor}ij$
后面的$\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{dx}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{dx}\right\rfloor}ij$可以$O(1)$算出来，中间的$\mu(x)x^2$可以$O(n)$预处理出来，然后整数分块套整数分块即可
注意随手取模！
代码
# include<iostream>
# include<cstring>
# include<cstdio>
# include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=1e7+5,mod=20101009;
int n,m,tot,_N,ans;
int pm[MAX],u[MAX],sum[MAX];
bool use[MAX];
void ss(int n)
{
u[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!use[i]) pm[++tot]=i,u[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pm[j]<=n;++j)
{
use[pm[j]*i]=1;
if(i%pm[j]==0) break;
u[pm[j]*i]=-u[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
sum[i]=(sum[i-1]+1ll*u[i]*i*i%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m),ss(_N=min(n,m));
for(int l=1,r,N,M,_ans;l<=_N;l=r+1)
{
N=n/l,M=m/l,r=min(n/N,m/M),_ans=0;
for(int _l=1,_r,N_,M_,_N_,_M_;_l<=_N/l;_l=_r+1)
N_=n/l/_l,M_=m/l/_l,_r=min(n/l/N_,m/l/M_),_N_=(1ll*(1+N_)*N_>>1)%mod,_M_=(1ll*(1+M_)*M_>>1)%mod,_ans=(_ans+1ll*(sum[_r]-sum[_l-1]+mod)%mod*_N_%mod*_M_%mod)%mod;
ans=(ans+((1ll*(1+r)*r>>1)%mod-(1ll*(1+(l-1))*(l-1)>>1)%mod+mod)%mod*_ans%mod)%mod;
}
return printf("%d",ans),0;
}
