题目
Description
OIVillage是一个风景秀美的乡村，为了更好的利用当地的旅游资源，吸引游客，推动经济发展，xkszltl决定修建了一条铁路将当地n个最著名的经典连接起来，让游客可以通过火车从铁路起点（1号景点）出发，依次游览每个景区。为了更好的评价这条铁路，xkszltl为每一个景区都哦赋予了一个美观度，而一条旅行路径的价值就是它所经过的景区的美观度之和。不过，随着天气与季节的变化，某些景点的美观度也会发生变化。
xkszltl希望为每位旅客提供最佳的旅行指导，但是由于游客的时间有限，不一定能游览全部景区，然而他们也不希望旅途过于短暂，所以每个游客都希望能在某一个区间内的车站结束旅程，而xkszltl的任务就是为他们选择一个终点使得旅行线路的价值最大。可是当地的景点与前来观光的旅客实在是太多了，xkszltl无法及时完成任务，于是找到了准备虐杀NOI2011的你，希望你能帮助他完成这个艰巨的任务。
Input
第一行给出一个整数n，接下来一行给出n的景区的初始美观度。
第三行给出一个整数m，接下来m行每行为一条指令：
-
0 x y k：表示将x到y这段铁路边上的景区的美观度加上k；
-
1 x y：表示有一名旅客想要在x到y这段（含x与y）中的某一站下车，你需要告诉他最大的旅行价值。
Output
对于每个询问，输出一个整数表示最大的旅行价值。
Sample Input
5
1 8 -8 3 -7
3
1 1 5
0 1 3 6
1 2 4
Sample Output
9
22
HINT
Data Limit:
对于20%的数据，n，m≤3000；
对于40%的数据，n，m≤30000；
对于50%的数据，n，m≤50000；
另外20%的数据，n，m≤100000，修改操作≤20；
对于100%的数据，n，m≤100000。
题解
题目要求的就是区间前缀和的最大值，区间$[l,r]$加$k$相当于区间$[l,r]$加一个首项、步长都为$k$的等差序列，区间$[r+1,n]$加一个首项为$(r-l+1)\times k$、步长为$0$的等差序列
这个东西用线段树无法维护，考虑分块，记录每一块的总的首项$b$和步长$d$，假设初始的前缀和序列为$S$，则若位置$j$比$i(j>i)$更优，有$i\times d+S_i+b$
移项化简后有$\frac{S_i-S_j}{j-i}<d$
前面的东西就相当于一个斜率的相反数，所以每个块建出上凸壳然后在上面二分即可，零散块直接重构凸壳
蠢如我开始建了一个“凹壳”然后死活调不出来哪里错了……
代码
# include<iostream>
# include<cstring>
# include<cstdio>
# include<cmath>
# include<algorithm>
# define LL long long
using namespace std;
const int MAX=1e5+5;
struct Point{
int x;
LL y;
Point(int X=0,LL Y=0) {x=X,y=Y;}
}st[MAX];
int n,m,k,N;
int a[MAX],bl[MAX],br[MAX],pos[MAX],T[MAX];
LL sum[MAX],Tk[MAX],Tb[MAX];
LL Cross(Point x,Point y) {return x.x*y.y-x.y*y.x;}
Point operator- (Point x,Point y) {return Point(x.x-y.x,x.y-y.y);}
Point operator+ (Point x,Point y) {return Point(x.x+y.x,x.y+y.y);}
double Cal(Point x,Point y) {return double(y.y-x.y)/double(x.x-y.x);}
int read()
{
int x=0,fl=1;
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);fl=(ch=='-')?-1:1,ch=getchar());
for(;isdigit(ch);x=x*10+ch-48,ch=getchar());
return x*fl;
}
void build(int x)
{
int Top=bl[x];
st[Top]=Point(1,sum[Top]);
for(int i=bl[x]+1;i<=br[x];++i)
{
while(Top>bl[x]&&Cross(st[Top]-st[Top-1],Point(i-bl[x]+1,sum[i])-st[Top])>0) --Top;
st[++Top]=Point(i-bl[x]+1,sum[i]);
}
T[x]=Top;
}
void change(int l,int r,int k,int b=0)
{
if(l>n) return;
int Pl=pos[l],Pr=pos[r];
if(Pl==Pr)
{
if(l==bl[Pl]&&r==br[Pr])
{
Tb[Pl]+=b;
return void(Tk[Pl]+=k);
}
for(int i=l;i<=r;++i)
sum[i]+=1ll*(i-l+1)*k+b;
return void(build(Pl));
}
int L=Pl+(bl[Pl]!=l),R=Pr-(br[Pr]!=r);
for(int i=L;i<=R;++i)
Tk[i]+=k,Tb[i]+=1ll*(bl[i]-l)*k+b;
if(L!=Pl)
{
for(int i=l;i<=br[Pl];++i)
sum[i]+=1ll*(i-l+1)*k+b;
build(Pl);
}
if(R!=Pr)
{
for(int i=bl[Pr];i<=r;++i)
sum[i]+=1ll*(i-l+1)*k+b;
build(Pr);
}
}
LL ask(int x)
{
int l=bl[x]+1,r=T[x],ans=bl[x];
while(l<=r)
{
int mid(l+r>>1);
if(st[mid-1].y-st[mid].y<1ll*(st[mid].x-st[mid-1].x)*Tk[x]) ans=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return 1ll*st[ans].x*Tk[x]+st[ans].y+Tb[x];
}
LL ask(int l,int r)
{
LL ans=-1e18;
int Pl=pos[l],Pr=pos[r];
if(Pl==Pr)
{
if(l==bl[Pl]&&r==br[Pr]) return ask(Pl);
for(int i=l;i<=r;++i)
ans=max(ans,1ll*(i-bl[Pl]+1)*Tk[Pl]+sum[i]+Tb[Pl]);
return ans;
}
int L=Pl+(bl[Pl]!=l),R=Pr-(br[Pr]!=r);
for(int i=L;i<=R;++i)
ans=max(ans,ask(i));
if(L!=Pl) for(int i=l;i<=br[Pl];++i)
ans=max(ans,1ll*(i-bl[Pl]+1)*Tk[Pl]+sum[i]+Tb[Pl]);
if(R!=Pr) for(int i=bl[Pr];i<=r;++i)
ans=max(ans,1ll*(i-bl[Pr]+1)*Tk[Pr]+sum[i]+Tb[Pr]);
return ans;
}
int main()
{
k=sqrt(n=read()),N=(n-1)/k+1;
for(int i=1,x;i<=n;++i)
{
a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i],pos[i]=x=(i-1)/k+1,br[x]=i;
if(!bl[x]) bl[x]=i;
}
for(int i=1;i<=N;++i)
build(i);
m=read();
for(int i=1,op,x,y,K;i<=1;++i)
{
op=read(),x=read(),y=read();
if(!op) change(x,y,K=read()),change(y+1,n,0,1ll*(y-x+1)*K);
else printf("%lld\n",ask(x,y));
}
return 0;
}
