[SCOI2016]幸运数字 - A-Failure的博客

题目

题目描述

A 国共有 n 座城市，这些城市由 n-1 条道路相连，使得任意两座城市可以互达，且路径唯一。每座城市都有一个幸运数字，以纪念碑的形式矗立在这座城市的正中心，作为城市的象征。

一些旅行者希望游览 A 国。旅行者计划乘飞机降落在 x 号城市，沿着 x 号城市到 y 号城市之间那条唯一的路径游览，最终从 y 城市起飞离开 A 国。在经过每一座城市时，游览者就会有机会与这座城市的幸运数字拍照，从而将这份幸运保存到自己身上。然而，幸运是不能简单叠加的，这一点游览者也十分清楚。他们迷信着幸运数字是以异或的方式保留在自己身上的。

例如，游览者拍了 3 张照片，幸运值分别是 5，7，11，那么最终保留在自己身上的幸运值就是 9（5 xor 7 xor 11）。

有些聪明的游览者发现，只要选择性地进行拍照，便能获得更大的幸运值。例如在上述三个幸运值中，只选择 5 和 11 ，可以保留的幸运值为 14 。现在，一些游览者找到了聪明的你，希望你帮他们计算出在他们的行程安排中可以保留的最大幸运值是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含 2 个正整数 n ，q，分别表示城市的数量和旅行者数量。

第二行包含 n 个非负整数，其中第 i 个整数 Gi 表示 i 号城市的幸运值。

随后 n-1 行，每行包含两个正整数 x ，y，表示 x 号城市和 y 号城市之间有一条道路相连。

随后 q 行，每行包含两个正整数 x ，y，表示这名旅行者的旅行计划是从 x 号城市到 y 号城市。N<=20000,Q<=200000,Gi<=2^60

输出格式：

输出需要包含 q 行，每行包含 1 个非负整数，表示这名旅行者可以保留的最大幸运值。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

14 
11

题解

求最大XOR，可以用线性基搞

但是这是在树上操作，所以得变化一下

考虑树链剖分，线段树每个节点都储存一个线性基，即两个子节点的线性基合并后的

然后查询时每次提出一条链的线性基，跟答案线性基合并

最后在答案线性基上求最大值就行了

时间复杂度为$O(q\log^4n)$，似乎点分治能搞到$O(q\log^2n)$？

代码

# include<iostream>
# include<cstring>
# include<cstdio>
# include<cstdlib>
# include<algorithm>
# define LL long long
# define tl (k<<1)
# define tr (k<<1|1)
# define mid (l+r>>1)
using namespace std;
const int MAX=2e4+1;
struct o{
    int x,y;
}c[MAX<<1];
int n,q,cnt,num;
int h[MAX],top[MAX],id[MAX],d[MAX],son[MAX],siz[MAX],fa[MAX];
LL a[MAX],w[MAX],ans[61],tran[61];
LL s[MAX<<2][61];
LL read()
{
    LL x=0;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar());
    for(;isdigit(ch);x=x*10+ch-48,ch=getchar());
    return x;
}
void add(int x,int y)
{
    c[++num]=(o){h[x],y},h[x]=num;
    c[++num]=(o){h[y],x},h[y]=num;
}
void dfs(int x,int f)
{
    fa[x]=f,d[x]=d[f]+1,siz[x]=1;
    for(int i=h[x];i;i=c[i].x)
      {
      	int y=c[i].y;
      	if(y==f) continue;
        dfs(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
      }
}
void dfs1(int x,int tp)
{
    top[x]=tp,id[x]=++cnt,w[cnt]=a[x];
    if(son[x]) dfs1(son[x],tp);
    for(int i=h[x];i;i=c[i].x)
      {
      	int y=c[i].y;
      	if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
      	dfs1(y,y);
      }
}
void ins(LL *a,LL x)
{
    for(int i=60;~i;--i)
      if(x&(1ll<<i))
      if(!a[i])
      {
      	a[i]=x;
      	break;
      }
      else x^=a[i];
}
void merge(LL *a,LL *b)
{
    for(int i=60;~i;--i)
      if(b[i]) ins(a,b[i]);
}
void pus(int k)
{
    merge(s[k],s[tl]),merge(s[k],s[tr]);
}
void build(int l,int r,int k)
{
    if(l==r)
    {
        ins(s[k],w[l]);
        return;
    }
    build(l,mid,tl),build(mid+1,r,tr);
    pus(k);
}
LL GET_MAX()
{
    LL tot=0;
    for(int i=60;~i;--i)
      if((tot^ans[i])>tot) tot^=ans[i];
    return tot;
}
void ask(int l,int r,int k,int L,int R)
{
    if(l==L&&r==R)
    {
        merge(tran,s[k]);
        return;
    }
    if(R<=mid) ask(l,mid,tl,L,R);
    else if(L>mid) ask(mid+1,r,tr,L,R);
    else ask(l,mid,tl,L,mid),ask(mid+1,r,tr,mid+1,R);
}
LL ASK(int x,int y)
{
    for(int i=0;i<=60;++i)
      ans[i]=0;
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
        for(int i=0;i<=60;++i)
          tran[i]=0;
        ask(1,n,1,id[top[x]],id[x]);
        merge(ans,tran);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=0;i<=60;++i)
      tran[i]=0;
    ask(1,n,1,id[x],id[y]);
    merge(ans,tran);
    return GET_MAX();
}
int main()
{
    n=read(),q=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
      a[i]=read();
    for(int i=1;i<n;++i)
      add(read(),read());
    dfs(1,0),dfs1(1,1),build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;++i)
      {
      	int x=read(),y=read();
      	printf("%lld\n",ASK(x,y));
      }
    return 0;
}

题目